Normal Extension

定义 Definition

normal extension：正规扩张（域扩张）。在抽象代数/伽罗瓦理论中，若代数扩张 \(E/F\) 具有性质：任何在 \(F\) 上不可约并且在 \(E\) 中有根的多项式，都在 \(E\) 中完全分裂（所有根都落在 \(E\) 里），则称 \(E/F\) 为正规扩张。常见等价表述：\(E\) 是某个（或某些）\(F[x]\) 多项式的分裂域。
（注：在其他学科里也可能出现“normal extension”的一般性含义，如“正常/常规的扩展”，但最常见的专门术语用法在代数中。）

发音 Pronunciation

/ˈnɔːrməl ɪkˈstɛnʃən/

例句 Examples

In algebra, we study normal extensions of fields.
在代数中，我们研究域的正规扩张。

If \(E/F\) is a normal extension, then every \(F\)-embedding of \(E\) into an algebraic closure sends \(E\) to itself.
如果 \(E/F\) 是正规扩张，那么把 \(E\) 嵌入到某个代数闭包中的任何 \(F\)-嵌入都会把 \(E\) 映到它自身之内。

词源 Etymology

normal 源自拉丁语 normalis（“符合规矩/标准的”），与 norma（“木匠用的直角尺、规范”）相关；extension 源自拉丁语 extendere（“伸展、展开”）。作为数学术语，“正规扩张”在19世纪与伽罗瓦理论的发展密切相关，用来刻画“分裂行为良好”的代数扩张。

相关词 Related Words

• Algebra
• Algebraic
• Automorphism
• Closure
• Embedding
• Extension
• Field
• Galois
• Irreducible
• Splitting Field

文学与名著用例 Literary Works

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）——在域扩张与伽罗瓦理论章节系统使用“normal extension”。
• Algebra（Serge Lang）——讲解正规扩张、分裂域与伽罗瓦群的关系。
• Algebra（Michael Artin）——在域与伽罗瓦理论部分讨论正规扩张。
• A Course in Arithmetic（Jean-Pierre Serre）——涉及与分裂域/伽罗瓦理论相关的正规性概念。
• Galois Theory（Ian Stewart）——面向学习者介绍正规扩张与伽罗瓦对应。